La resolución es la capacidad para distinguir entre dos puntos muy próximos. Aunque un sistema óptico sea totalmente perfecto, sin aberraciones de ningún tipo existe un límite en su resolución debido a que el instrumento tiene un tamaño finito. Este tamaño finito nos producirá la difracción.

En todo momento me referiré a aberturas circulares, por ser las más comunes y para no complicar en exceso la formulación. Si entro en formulación para aberturas hexagonales (algunos telescopios profesionales tienen esta configuración) muy posiblemente nadie lo lea :)

Una abertura circular debido a la difracción produce una sucesión de anillos de luz concéntricos, con un máximo central, estos son los llamados discos de Airy, tal y como se puede ver en la imagen siguiente.

Disco_airy resolucion_grafico1

Distribución de anillos de difracción (fuente: Wikipedia) y relación entre los anillos (fuente: Apuntes de DIO de la UCM)

Este patrón es perfectamente constante y se ha parametrizado con una alta precisión mediante la distribución de irradiancia (luminosidad), la función de Airy. La ecuación de parametrización, por si alguien tiene curiosidad aunque no entraré en detalles de donde se obtiene, es la siguiente:

Resolucion_eq0_jacobiano

En la tabla siguiente podemos ver un resumen del tamaño de cada anillo de difracción en relación a la relación focal del instrumento óptico utilizado.

AnilloRadioEnergía% de energía en el anillo
Máximo central01.0·E083.9
Primer cero1.22·𝜆·f/#w0---
Primer anillo1.64·𝜆·f/#w0.017·E07.1
Segundo cero2.24·𝜆·f/#w0---
Segundo anillo2.66·𝜆·f/#w0.041·E02.8
Tercero cero3.2·𝜆·f/#w0---
Tercer anillo3.70·𝜆·f/#w0.0016·E01.5
Cuarto cero4.24·𝜆·f/#w0---

𝜆: longitud de onda (color); f/#w: relación focal del sistema; E0: Energía normalizada al máximo central

Como es lógico pensar, un objeto está totalmente resuelto cuando sus máximos de difracción (los máximos de intensidad) están perfectamente separados. De forma física, cuando el primer mínimo del disco de Airy de una de las fuentes de luz cae en el primer mínimo de la segunda fuente.

Resolucion_grafico2


Pero esta separación se puede reducir y aún podemos seguir distinguiendo que las fuentes de luz no es una sola, si no dos. A partir de esta premisa se han establecido varios criterios para cuantificar donde está el limite resolutivo.

Criterio de Rayleigh

Este criterio se basa en que podemos ver dos objetos puntuales perfectamente separados cuando el máximo de luz de un objeto cae en el mínimo de luz del adyacente, siendo la caída en contraste entre los dos máximos de un 28%. En la siguiente imagen se verá mejor.

Resolucion_Rayleigh

De forma numérica, este criterio nos dice que:

aumentos_eq2

siendo R la resolución máxima angular en radianes, 𝜆 la longitud de onda (color) observado en milímetros y D el diámetro de la apertura en metros.

aumentos_eq3

Si multiplicamos la expresión por el factor 206.265 convertiremos el resultado a segundos de arco, una unidad mucho más utilizada en resolución que los radianes.

Criterio de Sparrow

Considera que el límite resolutivo se da justo en el momento en el que los dos máximos de luz se separan cuando los máximos distan entre sí la anchura a la mitad de altura de cada uno de ellos. Es decir, cuando ya no existe una depresión central, sólo se ve un elongamiento del disco de Airy. Por tanto, estamos hablando del límite máximo de resolución de un sistema óptico.

Resolucion_Sparrow


De forma matemática la resolución máxima en segundos de arco según este criterio se define como:

resolucion_eq3_Sparrow


En la práctica, este límite resolutivo sólo es útil cuando se trabaja con microscopios dado que es un límite resolutivo que no se puede superar.

Límite de Abbe

También conocido como el límite por difracción, es un paso intermedio entre el criterio de Rayleigh y el de Sparrow. Este límite, en un principio se definió para microscopios (al igual que el de Sparrow). El límite de Abbe se definió como

resolucion_eq4_Abbe

siendo n·sin𝜃 la apertura numérica del objetivo de microscopio. Si reconvertimos la ecuación para que sea aplicable para telescopios tendríamos

resolucion_eq5_Abbe

En la actualidad, este criterio sólo es válido para técnicas de microscopía de campo lejano. Cuando se utiliza observación en campo cercano, se puede superar el límite de Abbe y llegar al de Sparrow sin grandes problemas.

Resolución ocular


Nuestro ojo en condiciones diurnas tiene un diámetro de pupila de unos 3 milímetros, sin embargo, en condiciones nocturnas, esta puede dilatarse hasta alcanzar los 7.5 milímetros. Si consideramos que los receptores del ojo (conos y bastones) están muy juntos, sin espacio entre ellos, y tanto cristalino, como cornea y humor acuoso no tienen imperfecciones, el diámetro de la pupila es el que nos determinará en un primer momento la resolución máxima que podremos alcanzar, a mayor diámetro más resolución.

Por tanto para nuestro ojo vemos que la resolución máxima para una longitud de onda de 550 nanómetros (color verde) es, aplicando el criterio de Rayleigh:

aumentos_eq7


Como es lógico, de noche, al tener una pupila con un diámetro mayor deberíamos tener una mayor resolución angular. Sin embargo, debido a cómo está constituido el ojo (distribución de conos y bastones) la resolución decae. Por ello, para los cálculos típicamente se utiliza la resolución que tenemos de día. Este resultado se utilizará en la próxima entrada sobre aumentos máximos.


Resolución práctica de un telescopio con CCD

En un telescopio, al contrario que en el ojo, deberemos considerar la distribución de los fotodectectores de la cámara que utilicemos. Una cámara, como casi todo el mundo sabe, está constituida por una serie de píxeles unidos todos en una matriz, que compondrá el detector. Estos píxeles tienen un tamaño definido, según qué cámara utilicemos tendrán un tamaño menor o mayor.

El tamaño de cada uno de los píxeles podemos conocerlo de dos formas diferentes, consultando la web del fabricante (la forma más sencilla) o calculándolo nosotros mismos. Sabiendo el tamaño del sensor que estamos utilizando y el número de píxeles que tiene por cada lado el detector, dividimos uno entre otro y obtendremos el tamaño del píxel en milímetros.

Una vez conocido el tamaño del píxel calculamos la resolución por píxel de nuestro telescopio.

resolucion_eq6


siendo p el tamaño del píxel en micras, f la distancia focal del telescopio

Normalmente, es mejor realizar un sobremuestreo, es decir, trabajar por encima de la resolución máxima impuesta por la atmósfera y acercarnos lo máximo posible a la resolución máxima de nuestro equipo. Como ya he dicho antes, la resolución típicamente que se utiliza en astronomía es la del criterio de Rayleigh.

Como ejemplo práctico. Supongamos un telescopio de 20 centímetros de abertura, 1000 milímetros de distancia focal y observamos en el color verde en 550 nanómetros. Apliquemos los diferentes criterios

resolucion_eq7


Ahora veamos qué tamaño de píxel debe tener nuestra cámara para poder sobremuestrear pero sin llegar al límite de Sparrow.

resolucion_eq8


El píxel deberá estar comprendido entre 3.35 y 2.58 micras para obtener el máximo de resolución por píxel. Sin embargo, al tener una atmósfera entre nosotros y el el espacio la turbulencia atmosférica buena parte de las veces será mayor que la resolución máxima de nuestro telescopio, por tanto deberemos adecuar el píxel a la turbulencia típica. Por ejemplo, si tenemos una turbulencia (en inglés
seeing) de 2 segundos de arco, sustituiremos este valor en la ecuación del criterio de Rayleigh y veremos el tamaño mínimo del píxel que debemos utilizar para tener el máximo de resolución por píxel. Si utilizamos píxeles del tamaño que nos da Rayleigh ya estaremos sobremuestreando.

Recordemos que a menor tamaño de píxel, menor cantidad de luz (fotones) es capaz de acumular, por tanto, será menos sensible nuestra cámara.


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