Hace unos días Juan Carlos Ceballos editor de la web “Óptica por la cara” me hizo una pregunta muy interesante a ver si le podía responder. Suponiendo un avión que vuela a una altura de 11 km y viaja siempre recto y paralelo a la superficie terrestre, ¿a qué distancia estará cuando lo veamos por el horizonte?

En un primer momento no supe decir la respuesta del valor exacto, pero, tras unas cuentas sí. Veamos como calcularlo.

Para simplificar todo el desarrollo y no meternos en trigonometría esférica, suponemos que el avión pasa exactamente por nuestra vertical y nosotros estamos de pié a nivel del mar.

Ya tenemos los 3 datos fundamentales. Nuestra altura sobre el nivel del mar, supongamos 1,75 metros, la altura del avión, 11 km y que este viaja recto.

Un esquema para aclarar ideas:

Horizonte


Lo que debemos calcular es la línea de visión límite entre el avión y nosotros. Es decir, ver cuál es la distancia máxima entre el punto 1 (nosotros) y el 2 (avión). Comencemos con las matemáticas.

En primer lugar supongamos que la Tierra es esférica para simplificar, aunque el error final no va a variar mucho si supusiésemos el geoide. Por tanto, el radio terrestre será de 6378,1 kilómetros (radio medio de la superficie terrestre).

Para nosotros, la distancia al horizonte será, aplicando Pitágoras:

EQ1_horizonte


Y para el avión:

EQ2_horizonte


Recopilando datos para las ecuaciones:
• h
1 = 1.75 metros = 0.00175 kilómetros
• h
2 = 11 kilómetros
• R = 6378.1 kilómetros

Sumando ambas ecuaciones y sustituyendo los datos obtenemos:

EQ3_horizonte


Tirando de calculadora vemos que la distancia a la que podríamos llegar a ver un avión es de
D = 379.48 kilómetros, algo verdaderamente impresionante.

Extinción atmosférica

Pero hay algo que no se ha considerado en ningún momento, la atmósfera. Todos los cálculos anteriores están hecho para condiciones ideales, es decir, total transparencia, algo que nunca se consigue debido a la absorción que producen las partículas que están suspendidas en el aire como contaminantes, vapor de agua, etcétera. Por tanto, nuestro rango de visión del avión será bastante menor. Por ejemplo, si suponemos que el fondo de cielo en el horizonte es claro, nos costará más ver al avión debido a que se confunde con el cielo.

Para el cálculo de la extinción debida a la atmósfera deberemos utilizar el concepto denominado
air mass, este concepto describe la atenuación debida a la atmósfera según el ángulo respecto a la vertical, suponiendo que justo en la vertical a nosotros el air mass es de 1, por tanto, veremos los objetos en toda su plenitud de brillo.

En cambio, cuando nos vamos yendo hacia el horizonte la cantidad de atmósfera que debe atravesar la luz reflejada por nuestro avión se hace más y más grande, en otras palabras, se atenuará. Para hacer un cálculo del nivel de extinción de luz que se produce usaremos la aproximación de Kasten y Young de 1989, es decir:

EQ4_horizonte


siendo
X la extinción atmosférica y z el ángulo respecto a la vertical en grados.

Podemos ver en el siguiente gráfico, cómo se comporta dicha extinción:

800px-AirmassFormulaePlots

Extinción atmosférica en función de la altura sobre el horizonte. Fuente: Wikipedia


Por poner un par de datos para hacernos una idea, justamente en el horizonte (90º) el
air mass es de 3471.1, a 89º ya se reduce a 56.4 y a 80º (correspondería a 10º sobre el horizonte) su valor es de 5.6.

Ahora hagamos una serie de suposiciones, el ojo humano es capaz de discernir entre cambios de brillo de un 1% (algo muy realista), el fondo de cielo de color e intensidad uniforme de luz desde nuestra vertical hasta el horizonte (algo no muy realista pero que simplifica enormemente los cálculos) y que el avión refleja el 80% de la luz que le llega. Calculamos el ángulo a partir del cuál la extinción atmosférica es inferior a esta variación de contraste.

EQ5_horizonte


siendo
X la extinción atmosférica límite para la visión humana, C el contraste límite, A el albedo (tanto por 1 de la reflexión del avión) y c el albedo del cielo a ángulos bajos.

Calculando el ángulo para el cuál el
air mass es de 4 (un valor muy utilizado, es en astronomía el ángulo aquél en el que la observación astronómica ya es posible) se obtiene que es aproximadamente 74º.



Para calcular la distancia a la que estará el avión cuando ya está a 16º de altura sobre el horizonte aplicaremos Pitágoras de nuevo y resolución para ángulos obtusos, amen de algunas aproximaciones, pero que tan sólo nos dan un error de un 1%. Veamos un esquema:

Horizonte_2


Nuestro objetivo será determinar el valor del lado
X. Para ello calculamos el ángulo a mediante la tangente, ya que el valor de Y y del radio terrestre (R) son conocidos y forman un ángulo recto. Como Y = 379.48 km y R = 6378.1 km. a será aproximadamente 3.40º. Una vez tenemos este valor, podemos calcular los ángulos del triángulo XYZ. Que serán: x = 16º, y = 160.6º, z = 3.40º.

Ahora aplicamos:

EQ6_horizonte


Por tanto, el avión estará a
86.9 kilómetros. Este valor podemos considerarlo como un valor práctico de la distancia máxima a la que podemos ver un avión en condiciones normales.

Conclusión

Si tenemos unas condiciones perfectamente óptimas, la bruma es 0, el Sol se está poniendo (o saliendo) y el avión refleja la luz solar exactamente hacia nosotros podremos verlo a distancias tan grandes como 379 kilómetros. O en condiciones nocturnas, en las que el fondo de cielo es prácticamente negro y podemos ver las luces de posición del avión (y seguimos considerando transparencia absoluta). Sin embargo, en cuanto consideramos la absorción de la atmósfera podemos ver cómo la distancia se reduce considerablemente hasta un valor de 86.9 kilómetros. Y ya si consideramos contaminantes atmosféricos, como en las grandes ciudades esta distancia será de en torno a 50 kilómetros.

Aunque estas distancias pueden parecer irreales, uno puede pensar que un objeto de apenas unas decenas de metros situado a más de 80 kilómetros es imposible de observar ya que está por debajo de la resolución de nuestro ojo, pero debemos verlo desde otro punto de vista. Es cierto que un objeto estático de 40 metros (que no emita luz propia), situado a esa distancia no lo vamos a ver jamás. Sin embargo, un avión, gracias a su estela y a su movimiento sí podemos llegar a verlo. Nuestra vista está habituada a percibir objetos en movimiento, si además, presenta algo característico como una estela de condensación, nos facilitará el trabajo. Mentalmente asociaremos esa estela, fácilmente visible por estar compuesta por hielo de agua que refleja la luz solar de forma muy eficiente, a un avión, tras unos segundos de búsqueda podremos llegar a verlo. Si el avión no deja una estela muy difícilmente podremos verlo, sólo se vería cuando ya esté a una distancia muy reducida.


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